Le 26 décembre 2017, J. Pace, G. Woltman, S. Kurowski, A. Blosser, et leurs co-auteurs ont annoncé la découverte d’un nouveau nombre premier : 2⁷⁷²³²⁹¹⁷-1. Faisons donc une petite incursion dans le monde des chercheurs de nombres premiers pour voir comment ce résultat a été obtenu, et aussi, à quoi ça sert.
Un nombre premier est un nombre qui est divisible uniquement par un et lui-même, c’est-à-dire essentiellement un nombre qui n’a pas de diviseur. Certains parlent des nombres premiers comme les atomes de l’univers mathématique, d’autres comme des pierres précieuses.
Nous devons à Euclide les deux premiers résultats :
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Ils sont en nombre infini. La démonstration de ce résultat est considéré comme la première démonstration par l’absurde. Supposons qu'il n'y a qu'un nombre fini de nombres premiers, ils sont donc tous plus petits qu'un certain entier n. Tout entier supérieur à n serait donc divisible par un nombre premier inférieur à n. Or le nombre (2*3*…*n)+1 n'est divisible par aucun des entiers de 2 à n puisque le reste de la division est toujours 1: ceci contredit la phrase précédente.
Tout nombre est le produit unique de facteurs premiers.
Ératosthène (-276, -194) a proposé un procédé qui permet de trouver tous les nombres premiers inférieurs à un certain entier naturel donné N. Son crible consiste à éliminer d’une table des entiers de 2 à N tous les multiples d’un entier. En supprimant tous les multiples, à la fin il ne restera que les entiers qui ne sont multiples d’aucun entier, et qui sont donc les nombres premiers. La recherche d’algorithmes efficaces est un sujet de recherche actif (voici ici ou là) par exemple pour le test de Lucas-Lehmer)
Après l’école grecque, il y a une longue période noire qui va jusqu’à la fin du XVIe siècle et en particulier l’arrivée de Marin Mersenne (1588-1648). Il est à la fois un défenseur de l’orthodoxie catholique et un catholique ouvert qui pense que la religion doit accueillir toute vérité mise à jour. Il adhère au cartésianisme et est le traducteur de Galilée.
Mersenne cherchait une formule donnant tous les nombres premiers. Il étudia plus particulièrement les nombres Mp=2p-1, où p est premier, nombres désormais appelés nombres de Mersenne. Il affirme en 1644 que Mp est premier pour p=2,3,5,7,13,17,19,31,67,127,257, et composé (c’est-à-dire non premier) pour les 44 autres valeurs de p inférieures à 257. Il commet en fait 5 erreurs (M61, M89 et M107 sont premiers, M67 et M257 ne le sont pas).
Le nouveau nombre premier découvert à la toute fin de 2017 correspond donc à M77232917. Il a 23 249 425 chiffres – près d’un million de chiffres de plus que le nombre premier record précédent. Un Document word écrit en Times New Roman, avec une taille de police de 10 et les marges classiques, représenterait 3845 pages.
La date officielle de la découverte est le jour où un homme déclare le résultat. Ceci est en accord avec la tradition : M4253 est réputé ne jamais avoir été le plus grand nombre premier connu parce qu’en 1961, le mathématicien américain Alexander Hurwitz avait lu la sortie d’imprimante à partir de la fin et trouva M4423 quelques secondes avant de voir que M4253 était aussi premier. De même, le nombre de Mersenne précédent a vécu une histoire compliquée : l’ordinateur a signalé le résultat au serveur le 17 Septembre 2015 mais un bug a empêché l’envoi de l’e-mail. Le nouveau nombre premier est resté inaperçu jusqu’à la maintenance de la base, c’est-à-dire le 7 janvier 2016.
Cryptographie quantique
On cite souvent l’utilisation des nombres premiers en cryptographie mais celui-ci est trop grand pour être vraiment utilisable (mais les espoirs en cryptographie quantique vont probablement changer les choses). Historiquement, la recherche de nombres premiers de Mersenne a été utilisé comme un test pour le matériel informatique. En 2016, la communauté autour du logiciel prime95 a permis de découvrir une faille dans le dernier CPU Skylake d’Intel (ici) ainsi que dans beaucoup d’ordinateurs personnels. Ce nombre premier a été trouvé dans le cadre du projet Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS).
2⁷⁷²³²⁹¹⁷-1 est le 50e nombre de Mersenne premier et si le défi de la découverte du 51e vous tente, vous pouvez trouver un programme de vérification ici et peut être même gagner les 3000 dollars proposés à l’heureux(se) gagnant-e. (Attention Jonathan Pace, qui a le premier découvert ce nombre, y travaille depuis quatorze ans.)
